개념 지도
8개의 핵심 공식
제곱근의 정의
양수 $a$의 제곱근은 $\pm\sqrt{a}$ 두 개. $a=0$이면 $0$ 하나뿐.
제곱근의 절댓값 성질
$a$의 부호에 관계없이 $\sqrt{a^2}$ 은 항상 음이 아닌 값.
근호의 곱
두 양의 제곱근의 곱은 곱한 수의 제곱근과 같다.
근호의 몫
두 양의 제곱근의 몫은 나눈 수의 제곱근과 같다.
근호 안 인수 빼내기
제곱인수는 근호 밖으로 꺼낼 수 있다. 거꾸로 $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2 b}$.
동류항 결합
근호 안이 같아야 계수끼리 더하거나 뺄 수 있다.
분모의 유리화
분모와 분자에 같은 근호를 곱해 분모를 유리수로 만든다.
켤레식과 합·차의 곱
두 항 분모의 유리화에서 핵심 도구. 차이는 항상 유리수.
자주 하는 4가지 실수
다른 근호의 합을 임의로 결합
근호 안이 같지 않으면 동류항 결합 불가. $\sqrt{a}+\sqrt{b}\neq\sqrt{a+b}$.
$\sqrt{a^2}=a$ 로 단순화
제곱근은 음이 아닌 값을 가리킨다. 항상 절댓값으로 표시.
분리 후 자동 분배 착각
곱·몫에만 분배 가능. 합·차에서는 분배 절대 금지.
분모에 근호를 남긴 채 종료
관례적으로 분모에 근호가 남으면 미완성 답으로 간주.
무리수의 역사 — 8개의 순간
피타고라스 학파의 출현
"모든 수는 정수의 비로 표현된다"는 신조 아래 수학을 종교적 진리로 받들었다.
히파소스의 발견
정사각형 대각선 길이 $\sqrt{2}$ 가 두 정수의 비로 표현되지 않음을 증명. 전설에 따르면 그 비밀을 누설한 죄로 바다에 빠뜨려졌다.
에우독소스의 비례론
무리수를 직접 다루지 않고, 길이의 '비례'로써 우회. 유클리드 『원론』 5권에 정리됨.
알콰리즈미와 아라비아 수학
대수학(al-jabr)에서 근의 개념이 체계화되며 √ 기호의 모태가 마련된다.
√ 기호의 탄생
독일 수학자 크리스토프 루돌프(Christoph Rudolff)가 라틴어 'radix(뿌리)'의 r을 변형해 √ 기호를 사용.
데데킨트의 절단(Dedekind Cut)
유리수를 두 집합으로 자르는 방법으로 무리수와 실수를 엄밀히 정의. 실수 체계의 현대적 토대.
린데만의 $\pi$ 초월성 증명
$\pi$가 어떤 다항식의 근도 될 수 없는 '초월수'임을 증명. 무리수 안에서 또 한 번의 계층 발견.
실수는 '연속체'
수직선 위 모든 점에 대응되는 수의 집합 — 유리수와 무리수가 빈틈없이 채워진 수의 세계.
핵심 용어 10
$x^2=a$ 를 만족시키는 수. $a$의 제곱근은 $\pm\sqrt{a}$.
제곱근을 나타내는 기호 √. 라틴어 'radix(뿌리)'에서 유래.
두 정수의 비 $\dfrac{p}{q}$ ($q\neq 0$) 로 나타낼 수 있는 수.
유리수가 아닌 실수. 순환하지 않는 무한소수.
유리수와 무리수를 합한 수 전체. 수직선의 모든 점에 대응.
분모에 있는 근호를 없애 분모를 유리수로 만드는 과정.
$a+b\sqrt{c}$ 에 대한 $a-b\sqrt{c}$ — 곱하면 무리수 부분이 사라짐.
근호 안의 수가 같은 항. 계수끼리 결합 가능.
$\sqrt{10}=3.16\cdots$ 의 정수부분은 $3$, 소수부분은 $\sqrt{10}-3$.
$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$ — 근호식 전개에서 가장 자주 등장.
대단원 학습 체크리스트
다음 10가지를 모두 체크할 수 있다면, 다음 단원으로 나아가도 좋다.
2022 개정 교육과정 성취기준
제곱근과 실수의 개념
제곱근의 뜻을 알고 그 성질을 이해하며, 실수의 대소관계를 판단할 수 있다.
근호의 기본 계산
근호를 포함한 식의 곱셈과 나눗셈, 그리고 덧셈과 뺄셈의 원리를 이해하고 계산할 수 있다.
분모의 유리화와 종합 활용
분모를 유리화하고, 곱셈공식을 활용해 근호식을 자유롭게 전개·정리할 수 있다.
Ⅰ단원 완료
2500년 전, 히파소스의 발견은 수학의 위기였다. 그러나 그 위기를 넘어 무리수를 받아들인 인류는 비로소 '연속'이라는 개념을 손에 쥐었다. 이제 너의 손에서 √는 더 이상 신비한 기호가 아니라, 가장 정확하게 길이와 면적을 계산하는 도구이다.